Theorem fiminre 10851

Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 10847. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3650	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
3		negfi 10850	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
4	3	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
5		negn0 10338	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6	5	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
7		fimaxre 10847	. . 3 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
9		negeq 10152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → -𝑟 = -𝑛)
10	9	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ -𝑛 ∈ 𝐴))
11	10	elrab 3331	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴))
12		simpllr 795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → -𝑛 ∈ 𝐴)
13		breq1 4586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
14	13	ralbidv 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑥 = -𝑛) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
16		ssel 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
17		renegcl 10223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
20	19	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
21	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
22		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
23	21, 22	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℂ))
24	23	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
25	24	negnegd 10262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
26		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
27	25, 26	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 ∈ 𝐴)
28		negeq 10152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → -𝑟 = --𝑦)
29	28	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
30	29	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ↔ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ 𝐴))
31	20, 27, 30	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴})
32		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = -𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ -𝑦 ≤ 𝑛))
33	32	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
35	21	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		simplll 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
37		lenegcon1 10411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
38	35, 36, 37	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
39	34, 38	sylibd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑛 ≤ 𝑦))
40	39	impancom 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑛 ≤ 𝑦))
41	40	ralrimiv 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦)
42	12, 15, 41	rspcedvd 3289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
43	42	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
44	43	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
45	11, 44	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
46	45	impcom 445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
47	46	rexlimdva 3013	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
48	47	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
49	8, 48	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  prmgaplem4  15596  fiminre2  38535  hoidmvlelem2  39486