Theorem fimacnv 6255

Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5396	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ ran ◡𝐹
2		dfdm4 5238	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = ran ◡𝐹
3		fdm 5964	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4		ssid 3587	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
5	3, 4	syl6eqss 3618	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 ⊆ 𝐴)
6	2, 5	syl5eqssr 3613	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran ◡𝐹 ⊆ 𝐴)
7	1, 6	syl5ss 3579	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ 𝐴)
8		imassrn 5396	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
9		frn 5966	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	8, 9	syl5ss 3579	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵)
11		ffun 5961	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
12	4, 3	syl5sseqr 3617	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13		funimass3 6241	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	10, 14	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
16	7, 15	eqssd 3585	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ⊆ wss 3540  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  fimacnvinrn  6256  fmpt  6289  frnsuppeq  7194  fin1a2lem7  9111  cnclima  20882  iscncl  20883  cnindis  20906  cncmp  21005  ptrescn  21252  qtopuni  21315  qtopcld  21326  qtopcmap  21332  ordthmeolem  21414  rnelfmlem  21566  mbfdm  23201  ismbf  23203  mbfimaicc  23206  ismbf2d  23214  ismbf3d  23227  mbfimaopn2  23230  i1fd  23254  plyeq0  23771  fsumcvg4  29324  zrhunitpreima  29350  imambfm  29651  carsggect  29707  dstrvprob  29860  poimirlem30  32609  dvtan  32630  smfresal  39673