MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrnglem 19127
Description: Lemma for fidomndrng 19128. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z 0 = (0g𝑅)
fidomndrng.o 1 = (1r𝑅)
fidomndrng.d = (∥r𝑅)
fidomndrng.t · = (.r𝑅)
fidomndrng.r (𝜑𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fidomndrnglem (𝜑𝐴 1 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
21eldifad 3552 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴0 )
54ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝐴0 )
6 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7 fidomndrng.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
1110eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12 fidomndrng.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐴𝐵)
16 fidomndrng.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑅)
17 fidomndrng.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑅)
18 fidomndrng.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑅)
1916, 17, 18domneq0 19118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦𝐵𝐴𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2013, 14, 15, 19syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2111, 20bitrd 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2221biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2322ord 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2423necon1ad 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝐴0𝑦 = 0 ))
255, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
2625ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
2726ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
28 domnring 19117 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3016, 17ringrghm 18428 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3129, 2, 30syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
327, 31syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3316, 16, 18, 18ghmf1 17512 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3527, 34mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵1-1𝐵)
36 fidomndrng.x . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
37 enrefg 7873 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵𝐵)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
39 f1finf1o 8072 . . . . . . 7 ((𝐵𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4038, 36, 39syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4135, 40mpbid 221 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
42 f1ocnv 6062 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
43 f1of 6050 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
4441, 42, 433syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵𝐵)
45 fidomndrng.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
4616, 45ringidcl 18391 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
4729, 46syl 17 . . . 4 (𝜑1𝐵)
4844, 47ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → (𝐹1 ) ∈ 𝐵)
49 fidomndrng.d . . . 4 = (∥r𝑅)
5016, 49, 17dvdsrmul 18471 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐹1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
512, 48, 50syl2anc 691 . 2 (𝜑𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
52 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
536cbvmptv 4678 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
547, 53eqtri 2632 . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐹1 ) · 𝐴) ∈ V
5652, 54, 55fvmpt 6191 . . . 4 ((𝐹1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
5748, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
58 f1ocnvfv2 6433 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵1𝐵) → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
5941, 47, 58syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
6057, 59eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → ((𝐹1 ) · 𝐴) = 1 )
6151, 60breqtrd 4609 1 (𝜑𝐴 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ccnv 5037  wf 5800  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cen 7838  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   GrpHom cghm 17480  1rcur 18324  Ringcrg 18370  rcdsr 18461  Domncdomn 19101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-dvdsr 18464  df-nzr 19079  df-domn 19105
This theorem is referenced by:  fidomndrng  19128
  Copyright terms: Public domain W3C validator