Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrnglem 19127
 Description: Lemma for fidomndrng 19128. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z 0 = (0g𝑅)
fidomndrng.o 1 = (1r𝑅)
fidomndrng.d = (∥r𝑅)
fidomndrng.t · = (.r𝑅)
fidomndrng.r (𝜑𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fidomndrnglem (𝜑𝐴 1 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
21eldifad 3552 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴0 )
54ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝐴0 )
6 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7 fidomndrng.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
1110eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12 fidomndrng.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐴𝐵)
16 fidomndrng.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑅)
17 fidomndrng.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑅)
18 fidomndrng.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑅)
1916, 17, 18domneq0 19118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦𝐵𝐴𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2013, 14, 15, 19syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2111, 20bitrd 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2221biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2322ord 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2423necon1ad 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝐴0𝑦 = 0 ))
255, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
2625ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
2726ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
28 domnring 19117 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3016, 17ringrghm 18428 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3129, 2, 30syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
327, 31syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3316, 16, 18, 18ghmf1 17512 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3527, 34mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵1-1𝐵)
36 fidomndrng.x . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
37 enrefg 7873 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵𝐵)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
39 f1finf1o 8072 . . . . . . 7 ((𝐵𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4038, 36, 39syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4135, 40mpbid 221 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
42 f1ocnv 6062 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
43 f1of 6050 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
4441, 42, 433syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵𝐵)
45 fidomndrng.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
4616, 45ringidcl 18391 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
4729, 46syl 17 . . . 4 (𝜑1𝐵)
4844, 47ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → (𝐹1 ) ∈ 𝐵)
49 fidomndrng.d . . . 4 = (∥r𝑅)
5016, 49, 17dvdsrmul 18471 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐹1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
512, 48, 50syl2anc 691 . 2 (𝜑𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
52 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
536cbvmptv 4678 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
547, 53eqtri 2632 . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐹1 ) · 𝐴) ∈ V
5652, 54, 55fvmpt 6191 . . . 4 ((𝐹1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
5748, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
58 f1ocnvfv2 6433 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵1𝐵) → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
5941, 47, 58syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
6057, 59eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → ((𝐹1 ) · 𝐴) = 1 )
6151, 60breqtrd 4609 1 (𝜑𝐴 1 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   GrpHom cghm 17480  1rcur 18324  Ringcrg 18370  ∥rcdsr 18461  Domncdomn 19101 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-dvdsr 18464  df-nzr 19079  df-domn 19105 This theorem is referenced by:  fidomndrng  19128
 Copyright terms: Public domain W3C validator