Theorem fdivval 42131

Description: The quotient of two functions into the complex numbers. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Proof of Theorem fdivval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fdiv 42130	. . 3 ⊢ /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0))))
3		oveq12 6558	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∘𝑓 / 𝑔) = (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺))
4		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
6	3, 5	reseq12d 5318	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓 ∘𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓 ∘𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
8		elex 3185	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
10		elex 3185	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
12		funmpt 5840	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
13		offval0 42093	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
14	13	funeqd 5825	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (Fun (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↔ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
15	12, 14	mpbiri 247	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → Fun (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺))
16		ovex 6577	. . 3 ⊢ (𝐺 supp 0) ∈ V
17		resfunexg 6384	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ∧ (𝐺 supp 0) ∈ V) → ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 693	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
19	2, 7, 9, 11, 18	ovmpt2d 6686	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ∘_𝑓 cof 6793   supp csupp 7182  0cc0 9815   / cdiv 10563   /_f cfdiv 42129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-fdiv 42130

This theorem is referenced by:  fdivmpt  42132