Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivval 42131
 Description: The quotient of two functions into the complex numbers. (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivval ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Proof of Theorem fdivval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fdiv 42130 . . 3 /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)))
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0))))
3 oveq12 6558 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑓𝑓 / 𝑔) = (𝐹𝑓 / 𝐺))
4 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
54adantl 481 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
63, 5reseq12d 5318 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
76adantl 481 . 2 (((𝐹𝑉𝐺𝑊) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑓 / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
8 elex 3185 . . 3 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
98adantr 480 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐹 ∈ V)
10 elex 3185 . . 3 (𝐺𝑊𝐺 ∈ V)
1110adantl 481 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐺 ∈ V)
12 funmpt 5840 . . . 4 Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
13 offval0 42093 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 / 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
1413funeqd 5825 . . . 4 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (Fun (𝐹𝑓 / 𝐺) ↔ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))))
1512, 14mpbiri 247 . . 3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → Fun (𝐹𝑓 / 𝐺))
16 ovex 6577 . . 3 (𝐺 supp 0) ∈ V
17 resfunexg 6384 . . 3 ((Fun (𝐹𝑓 / 𝐺) ∧ (𝐺 supp 0) ∈ V) → ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
1815, 16, 17sylancl 693 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
192, 7, 9, 11, 18ovmpt2d 6686 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ∘𝑓 cof 6793   supp csupp 7182  0cc0 9815   / cdiv 10563   /f cfdiv 42129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-fdiv 42130 This theorem is referenced by:  fdivmpt  42132
 Copyright terms: Public domain W3C validator