Theorem fcoi2 5992

Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 5808	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		cores 5555	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = ( I ∘ 𝐹))
3		fnrel 5903	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
4		coi2 5569	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ( I ∘ 𝐹) = 𝐹)
6	2, 5	sylan9eqr 2666	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)
7	1, 6	sylbi 206	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ⊆ wss 3540   I cid 4948  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808

This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  6448  mapen  8009  mapfien  8196  hashfacen  13095  cofulid  16373  setccatid  16557  estrccatid  16595  symggrp  17643  f1omvdco2  17691  symggen  17713  psgnunilem1  17736  gsumval3  18131  gsumzf1o  18136  frgpcyg  19741  f1linds  19983  qtophmeo  21430  motgrp  25238  hoico2  28000  fcoinver  28798  fcobij  28888  symgfcoeu  29176  subfacp1lem5  30420  ltrncoidN  34432  trlcoat  35029  trlcone  35034  cdlemg47a  35040  cdlemg47  35042  trljco  35046  tgrpgrplem  35055  tendo1mul  35076  tendo0pl  35097  cdlemkid2  35230  cdlemk45  35253  cdlemk53b  35262  erng1r  35301  tendocnv  35328  dvalveclem  35332  dva0g  35334  dvhgrp  35414  dvhlveclem  35415  dvh0g  35418  cdlemn8  35511  dihordlem7b  35522  dihopelvalcpre  35555  mendring  36781  rngccatidALTV  41781  ringccatidALTV  41844