MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expneg 12730
Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expneg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 11171 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnne0 10930 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4 nncn 10905 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
54adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
65negeq0d 10263 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
76necon3abid 2818 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
83, 7mpbid 221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
98iffalsed 4047 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))))
10 nnnn0 11176 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12 nn0nlt0 11196 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1411nn0red 11229 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1514lt0neg1d 10476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
1613, 15mtbid 313 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
1716iffalsed 4047 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))
185negnegd 10262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1918fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
2019oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
219, 17, 203eqtrd 2648 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
22 nnnegz 11257 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
23 expval 12724 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
2422, 23sylan2 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
25 expnnval 12725 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
2625oveq2d 6565 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
2721, 24, 263eqtr4d 2654 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
28 1div1e1 10596 . . . . 5 (1 / 1) = 1
2928eqcomi 2619 . . . 4 1 = (1 / 1)
30 negeq 10152 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
31 neg0 10206 . . . . . . 7 -0 = 0
3230, 31syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
3332oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝐴↑-𝑁) = (𝐴↑0))
34 exp0 12726 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3533, 34sylan9eqr 2666 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = 1)
36 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
3736, 34sylan9eqr 2666 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
3837oveq2d 6565 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / 1))
3929, 35, 383eqtr4a 2670 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
4027, 39jaodan 822 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
411, 40sylan2b 491 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  seqcseq 12663  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  expneg2  12731  expn1  12732  expnegz  12756  efexp  14670  pcexp  15402  aaliou3lem8  23904  basellem3  24609  basellem4  24610  basellem8  24614  ex-exp  26699  dvtan  32630  irrapxlem5  36408  pellexlem2  36412  nn0digval  42192
  Copyright terms: Public domain W3C validator