Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcn 22483
 Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 𝑁, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
expcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
expcn (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁

Proof of Theorem expcn
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑥𝑛) = (𝑥↑0))
21mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)))
32eleq1d 2672 . 2 (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
4 oveq2 6557 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
54mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
65eleq1d 2672 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7 oveq2 6557 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
87mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
98eleq1d 2672 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
10 oveq2 6557 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑁))
1110mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
1211eleq1d 2672 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
13 exp0 12726 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
1413mpteq2ia 4668 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
15 expcn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1615cnfldtopon 22396 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
18 1cnd 9935 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
1917, 17, 18cnmptc 21275 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2019trud 1484 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
2114, 20eqeltri 2684 . 2 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
22 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = (𝑛↑(𝑘 + 1)))
2322cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1)))
24 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 expp1 12729 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛𝑘) · 𝑛))
2724, 25, 26syl2anr 494 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛𝑘) · 𝑛))
2827mpteq2dva 4672 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛𝑘) · 𝑛)))
2923, 28syl5eq 2656 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛𝑘) · 𝑛)))
3016a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
31 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝑘) = (𝑛𝑘))
3231cbvmptv 4678 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛𝑘))
33 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3432, 33syl5eqelr 2693 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3530cnmptid 21274 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ 𝑛) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3615mulcn 22478 . . . . . 6 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3736a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3830, 34, 35, 37cnmpt12f 21279 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛𝑘) · 𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3929, 38eqeltrd 2688 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4039ex 449 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
413, 6, 9, 12, 21, 40nn0ind 11348 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕ0cn0 11169  ↑cexp 12722  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by:  sqcn  22485  expcncf  22533  plycn  23821  psercn2  23981  atansopn  24459  pntlem3  25098  climexp  38672
 Copyright terms: Public domain W3C validator