Theorem ex-exp 26699

Description: Example for df-exp 12723. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 10959	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6559	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 10975	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 12842	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		sq4e2t8 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
7		2cn 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		8cn 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
9	7, 8	mulcomi 9925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 8) = (8 · 2)
10		8t2e16 11530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 2) = ;16
11	9, 10	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 8) = ;16
12	6, 11	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = ;16
13	7, 3	mulcomi 9925	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = (4 · 2)
14		4t2e8 11058	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
15	13, 14	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
16	12, 15	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
17		1nn0 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		6nn0 11190	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
19		8nn0 11192	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 = ;16
21		1p1e2 11011	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
22		4nn0 11188	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
23		6cn 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
24	23, 8	addcomi 10106	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 8) = (8 + 6)
25		8p6e14 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 6) = ;14
26	24, 25	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 8) = ;14
27	17, 18, 19, 20, 21, 22, 26	decaddci 11456	. . . . . . 7 ⊢ (;16 + 8) = ;24
28	16, 27	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
29	28	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = (;24 + 1)
30		2nn0 11186	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ;24 = ;24
32		4p1e5 11031	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
33	30, 22, 17, 31, 32	decaddi 11455	. . . . 5 ⊢ (;24 + 1) = ;25
34	29, 33	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
35	5, 34	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
36	2, 35	eqtri 2632	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
37		3cn 10972	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
38		negcl 10160	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → -3 ∈ ℂ)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℂ
40	39, 30	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0)
41		expneg 12730	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
43		sqneg 12785	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
45		sq3 12823	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
46	44, 45	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
47	46	oveq2i 6560	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
48	42, 47	eqtri 2632	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
49	36, 48	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  8c8 10953  9c9 10954  ℕ₀cn0 11169  ;cdc 11369  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  26703