Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ewlkle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ewlkle 40807
 Description: An s-walk of edges is also a t-walk of edges if t <_ s. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
ewlkle ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇))

Proof of Theorem ewlkle
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21ewlkprop 40805 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
3 simpl2 1058 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
4 xnn0xr 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℝ*)
54adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → 𝑇 ∈ ℝ*)
6 xnn0xr 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ ℕ0*𝑆 ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → 𝑆 ∈ ℝ*)
8 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
98inex1 4727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V
10 hashxrcl 13010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V → (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
12 xrletr 11865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*) → ((𝑇𝑆𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → 𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
135, 7, 11, 12syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → ((𝑇𝑆𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → 𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
1413exp4b 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0* → (𝑇 ∈ ℕ0* → (𝑇𝑆 → (𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))))
1514adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝑇 ∈ ℕ0* → (𝑇𝑆 → (𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))))
1615imp32 448 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → (𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
1716ralimdv 2946 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
1817ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
1918com23 84 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
2019a1d 25 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))))
21203imp1 1272 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
22 simpl1l 1105 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝐺 ∈ V)
23 simprl 790 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝑇 ∈ ℕ0*)
241isewlk 40804 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ ℕ0*𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
2522, 23, 3, 24syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑇 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
263, 21, 25mpbir2and 959 . . . 4 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇))
2726ex 449 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝐹))𝑆 ≤ (#‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇)))
282, 27syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇)))
29283impib 1254 1 ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ0*cxnn0 11240  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  iEdgciedg 25674   EdgWalks cewlks 40795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-ewlks 40799 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator