Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1scasrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1scasrng 19524
 Description: The evaluation of a scalar of a subring yields the same result as evaluated as a scalar over the ring itself. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1scasrng.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1scasrng.o 𝑂 = (eval1𝑆)
evls1scasrng.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1scasrng.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1scasrng.p 𝑃 = (Poly1𝑆)
evls1scasrng.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1scasrng.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1scasrng.c 𝐶 = (algSc‘𝑃)
evls1scasrng.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1scasrng.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1scasrng.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1scasrng (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝑂‘(𝐶𝑋)))

Proof of Theorem evls1scasrng
StepHypRef Expression
1 evls1scasrng.c . . . . . 6 𝐶 = (algSc‘𝑃)
2 evls1scasrng.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑆)
3 evls1scasrng.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
4 evls1scasrng.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑆)
54ressid 15762 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ CRing → (𝑆s 𝐵) = 𝑆)
65eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (𝑆s 𝐵))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 = (𝑆s 𝐵))
87fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Poly1𝑆) = (Poly1‘(𝑆s 𝐵)))
92, 8syl5eq 2656 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (Poly1‘(𝑆s 𝐵)))
109fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵))))
111, 10syl5eq 2656 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵))))
1211fveq1d 6105 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑋) = ((algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))‘𝑋))
1312fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))‘𝑋)))
14 eqid 2610 . . . 4 (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
15 eqid 2610 . . . 4 (Poly1‘(𝑆s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑆s 𝐵))
16 eqid 2610 . . . 4 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
17 eqid 2610 . . . 4 (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵))) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))
18 crngring 18381 . . . . 5 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
194subrgid 18605 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
203, 18, 193syl 18 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
21 evls1scasrng.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
224subrgss 18604 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅𝐵)
24 evls1scasrng.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
2523, 24sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
2614, 15, 16, 4, 17, 3, 20, 25evls1sca 19509 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
2713, 26eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
28 evls1scasrng.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑆)
2928, 4evl1fval1 19516 . . . 4 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
3029a1i 11 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
3130fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → (𝑂‘(𝐶𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶𝑋)))
32 evls1scasrng.q . . 3 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
33 evls1scasrng.w . . 3 𝑊 = (Poly1𝑈)
34 evls1scasrng.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
35 evls1scasrng.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3632, 33, 34, 4, 35, 3, 21, 24evls1sca 19509 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
3727, 31, 363eqtr4rd 2655 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝑂‘(𝐶𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  SubRingcsubrg 18599  algSccascl 19132  Poly1cpl1 19368   evalSub1 ces1 19499  eval1ce1 19500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-evls 19327  df-evl 19328  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-evls1 19501  df-evl1 19502 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator