Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1sca 19519
 Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1sca.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evl1sca ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 18381 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3 evl1sca.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 evl1sca.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 evl1sca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
73, 4, 5, 6ply1sclf 19476 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9 ffvelrn 6265 . . . 4 ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
108, 9sylancom 698 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11 evl1sca.o . . . 4 𝑂 = (eval1𝑅)
12 eqid 2610 . . . 4 (1𝑜 eval 𝑅) = (1𝑜 eval 𝑅)
13 eqid 2610 . . . 4 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
14 eqid 2610 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
153, 14, 6ply1bas 19386 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 19514 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
1710, 16syldan 486 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
185ressid 15762 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
2019oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1𝑜 mPoly 𝑅))
2120fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
223, 4ply1ascl 19449 . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
2321, 22syl6reqr 2663 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵))))
2423fveq1d 6105 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋))
2524fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((1𝑜 eval 𝑅)‘((algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)))
2612, 5evlval 19345 . . . . 5 (1𝑜 eval 𝑅) = ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
27 eqid 2610 . . . . 5 (1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵))
28 eqid 2610 . . . . 5 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
29 eqid 2610 . . . . 5 (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵)))
30 1on 7454 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 1𝑜 ∈ On)
32 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
335subrgid 18605 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
342, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 simpr 476 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 19343 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1𝑜 eval 𝑅)‘((algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}))
3725, 36eqtrd 2644 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}))
3837coeq1d 5205 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
39 df1o2 7459 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
40 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
415, 40eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
42 0ex 4718 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
43 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
4439, 41, 42, 43mapsnf1o3 7792 . . . . . 6 (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1𝑜)
45 f1of 6050 . . . . . 6 ((𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1𝑜) → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1𝑜))
4644, 45mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1𝑜))
4743fmpt 6289 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1𝑜) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1𝑜))
4846, 47sylibr 223 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑦𝐵 (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1𝑜))
49 eqidd 2611 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))
50 fconstmpt 5085 . . . . 5 ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 1𝑜) ↦ 𝑋)
5150a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 1𝑜) ↦ 𝑋))
52 eqidd 2611 . . . 4 (𝑥 = (1𝑜 × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
5348, 49, 51, 52fmptcof 6304 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
54 fconstmpt 5085 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
5553, 54syl6eqr 2662 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
5617, 38, 553eqtrd 2648 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   ↑𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  SubRingcsubrg 18599  algSccascl 19132   mPoly cmpl 19174   eval cevl 19326  PwSer1cps1 19366  Poly1cpl1 19368  eval1ce1 19500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-evls 19327  df-evl 19328  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-evl1 19502 This theorem is referenced by:  evl1scad  19520  pf1const  19531  pf1ind  19540  evl1scvarpw  19548  ply1rem  23727  fta1g  23731  fta1blem  23732  plypf1  23772
 Copyright terms: Public domain W3C validator