Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupthvdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthvdres 41403
 Description: Formerly part of proof of eupth2 41407: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthvdres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g (𝜑𝐺𝑊)
eupthvdres.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
Assertion
Ref Expression
eupthvdres (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres
StepHypRef Expression
1 eupthvdres.g . 2 (𝜑𝐺𝑊)
2 eupthvdres.h . . . 4 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
3 opex 4859 . . . 4 𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩ ∈ V
42, 3eqeltri 2684 . . 3 𝐻 ∈ V
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
62fveq2i 6106 . . . 4 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
7 eupthvdres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) ∈ V
97, 8eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
10 eupthvdres.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
11 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1210, 11eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
1312resex 5363 . . . . . . 7 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V
149, 13pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V)
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V))
16 opvtxfv 25681 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
186, 17syl5eq 2656 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
1918, 7syl6eq 2660 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
202fveq2i 6106 . . . . 5 (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
21 opiedgfv 25684 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
2215, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
2320, 22syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
24 eupthvdres.p . . . . . . 7 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
2510eupthf1o 41372 . . . . . . 7 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
27 f1ofo 6057 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
28 foima 6033 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
2926, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
3029reseq2d 5317 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
31 eupthvdres.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
32 funfn 5833 . . . . . 6 (Fun 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
3331, 32sylib 207 . . . . 5 (𝜑𝐼 Fn dom 𝐼)
34 fnresdm 5914 . . . . 5 (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3623, 30, 353eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
3736, 10syl6eq 2660 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
381, 5, 19, 37vtxdeqd 40692 1 (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681  EulerPathsceupth 41364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-vtxdg 40682  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-eupth 41365 This theorem is referenced by:  eupth2  41407
 Copyright terms: Public domain W3C validator