Theorem eupths 41367

Description: The Eulerian paths on the graph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupths	⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝   𝑓,𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem eupths

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → 𝑓 = 𝑓)
2		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^(#‘𝑓)))
3		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
4		eupths.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5	4	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝐺) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = 𝐼)
8	7	dmeqd 5248	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼)
9	1, 2, 8	foeq123d 6045	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
11		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ 𝑋)
12		1wlksv 40824	. . . 4 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
13		trlis1wlk 40905	. . . . 5 ⊢ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 → 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝)
14	13	ssopab2i 4928	. . . 4 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝}
15	12, 14	ssexi 4731	. . 3 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝} ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝} ∈ V)
17		df-eupth 41365	. 2 ⊢ EulerPaths = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))})
18	10, 11, 16, 17	fvmptopab1 6594	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  {copab 4642  dom cdm 5038  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ..^cfzo 12334  #chash 12979  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  EulerPathsceupth 41364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-eupth 41365

This theorem is referenced by:  iseupth  41368  eupthtrli  41370  eupthi  41371  upgreupthi  41376