Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupaseg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupaseg 26500
 Description: The 𝑁-th edge in an eulerian path is the edge from 𝑃(𝑁 − 1) to 𝑃(𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupaseg ((𝐹(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑃𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐸‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃‘(𝑁 − 1)), (𝑃𝑁)})

Proof of Theorem eupaseg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupagra 26493 . . . . 5 (𝐹(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑃𝑉 UMGrph 𝐸)
2 umgraf2 25846 . . . . 5 (𝑉 UMGrph 𝐸𝐸:dom 𝐸⟶{𝑘 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑘) ≤ 2})
3 ffn 5958 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑘 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑘) ≤ 2} → 𝐸 Fn dom 𝐸)
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝐹(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑃𝐸 Fn dom 𝐸)
5 eupai 26494 . . . 4 ((𝐹(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑃𝐸 Fn dom 𝐸) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)}))
64, 5mpdan 699 . . 3 (𝐹(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑃 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)}))
76simprd 478 . 2 (𝐹(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)})
8 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
98fveq2d 6107 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹𝑁)))
10 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 − 1) = (𝑁 − 1))
1110fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
12 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
1311, 12preq12d 4220 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} = {(𝑃‘(𝑁 − 1)), (𝑃𝑁)})
149, 13eqeq12d 2625 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ↔ (𝐸‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃‘(𝑁 − 1)), (𝑃𝑁)}))
1514rspccva 3281 . 2 ((∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐸‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃‘(𝑁 − 1)), (𝑃𝑁)})
167, 15sylan 487 1 ((𝐹(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑃𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐸‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃‘(𝑁 − 1)), (𝑃𝑁)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979   UMGrph cumg 25841   EulPaths ceup 26489 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-umgra 25842  df-eupa 26490 This theorem is referenced by:  eupares  26502  eupap1  26503  eupath2lem3  26506
 Copyright terms: Public domain W3C validator