Theorem euelss 3873

Description: Transfer uniqueness of an element to a smaller subclass. (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
euelss	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem euelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		df-rex 2902	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤))
3		ancom 465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤) ↔ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4		truan 1492	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	3, 4	bitri 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	exbii 1764	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7	2, 6	sylbbr 225	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
8		df-reu 2903	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ⊤ ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⊤))
9		ancom 465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⊤) ↔ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
10		truan 1492	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
11	9, 10	bitri 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⊤) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	11	eubii 2480	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⊤) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
13	8, 12	sylbbr 225	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ⊤)
14		reuss 3867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ⊤) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
15	1, 7, 13, 14	syl3an 1360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
16		df-reu 2903	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ⊤ ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤))
17	15, 16	sylib 207	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤))
18		ancom 465	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤))
19	4, 18	bitr3i 265	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤))
20	19	eubii 2480	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤))
21	17, 20	sylibr 223	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ⊤wtru 1476  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∃!weu 2458  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898   ⊆ wss 3540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-in 3547  df-ss 3554

This theorem is referenced by:  initoeu1  16484  termoeu1  16491