Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumrnmpt 29441
 Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumrnmpt.0 𝑘𝐴
esumrnmpt.1 (𝑦 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
esumrnmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
esumrnmpt.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumrnmpt.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
esumrnmpt.5 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumrnmpt (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝐶,𝑘   𝑦,𝐷   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem esumrnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2751 . . 3 𝑘𝐶
2 nfv 1830 . . 3 𝑘𝜑
3 esumrnmpt.0 . . 3 𝑘𝐴
4 esumrnmpt.1 . . 3 (𝑦 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
5 esumrnmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 esumrnmpt.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
7 esumrnmpt.5 . . . 4 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
82, 3, 6, 7disjdsct 28863 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴𝐵))
9 esumrnmpt.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 6esumc 29440 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐷 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
11 eqid 2610 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1211rnmpt 5292 . . 3 ran (𝑘𝐴𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}
13 esumeq1 29423 . . 3 (ran (𝑘𝐴𝐵) = {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵} → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶)
1412, 13ax-mp 5 . 2 Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑘𝐴 𝑧 = 𝐵}𝐶
1510, 14syl6reqr 2663 1 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  Ⅎwnfc 2738  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  Disj wdisj 4553   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,]cicc 12049  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  29457
 Copyright terms: Public domain W3C validator