Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpr2 29456
 Description: Extended sum over a pair, with a relaxed condition compared to esumpr 29455. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpr.1 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
esumpr.2 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
esumpr.3 (𝜑𝐴𝑉)
esumpr.4 (𝜑𝐵𝑊)
esumpr.5 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
esumpr2.1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐷 = 0 ∨ 𝐷 = +∞)))
Assertion
Ref Expression
esumpr2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumpr2
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2 dfsn2 4138 . . . . . 6 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
3 preq2 4213 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
42, 3syl5req 2657 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5 esumeq1 29423 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} = {𝐴} → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶)
61, 4, 53syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶)
7 esumpr.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
8 esumpr.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
9 esumpr.5 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
107, 8, 9esumsn 29454 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
126, 11eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = 𝐷)
13 esumpr2.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐷 = 0 ∨ 𝐷 = +∞)))
14 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝐷 = 0 → (𝐷 +𝑒 𝐷) = (𝐷 +𝑒 0))
15 0xr 9965 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
16 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 0 → (𝐷 ∈ ℝ* ↔ 0 ∈ ℝ*))
1715, 16mpbiri 247 . . . . . . . 8 (𝐷 = 0 → 𝐷 ∈ ℝ*)
18 xaddid1 11946 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 +𝑒 0) = 𝐷)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐷 = 0 → (𝐷 +𝑒 0) = 𝐷)
2014, 19eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝐷 = 0 → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
21 pnfxr 9971 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
22 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝐷 = +∞ → (𝐷 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
2321, 22mpbiri 247 . . . . . . . 8 (𝐷 = +∞ → 𝐷 ∈ ℝ*)
24 pnfnemnf 9973 . . . . . . . . 9 +∞ ≠ -∞
25 neeq1 2844 . . . . . . . . 9 (𝐷 = +∞ → (𝐷 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
2624, 25mpbiri 247 . . . . . . . 8 (𝐷 = +∞ → 𝐷 ≠ -∞)
27 xaddpnf1 11931 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞) → (𝐷 +𝑒 +∞) = +∞)
2823, 26, 27syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐷 +𝑒 +∞) = +∞)
29 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐷 +𝑒 𝐷) = (𝐷 +𝑒 +∞))
30 id 22 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → 𝐷 = +∞)
3128, 29, 303eqtr4d 2654 . . . . . 6 (𝐷 = +∞ → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
3220, 31jaoi 393 . . . . 5 ((𝐷 = 0 ∨ 𝐷 = +∞) → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
3313, 32syl6 34 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷))
3433imp 444 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
35 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝜑)
36 eqeq2 2621 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
3736biimprd 237 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐴))
381, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐴))
3938imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 = 𝐴)
4035, 39, 7syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
41 esumpr.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
4241adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑊)
439adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
4440, 42, 43esumsn 29454 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
45 esumpr.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
46 esumpr.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
4745, 41, 46esumsn 29454 . . . . . 6 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
4847adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
4944, 48eqtr3d 2646 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐸)
5049oveq2d 6565 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐷) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
5112, 34, 503eqtr2d 2650 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
527adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
5345adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
548adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑉)
5541adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
569adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
5746adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
58 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
5952, 53, 54, 55, 56, 57, 58esumpr 29455 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
6051, 59pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125  {cpr 4127  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  measxun2  29600  measssd  29605  carsgclctun  29710
 Copyright terms: Public domain W3C validator