Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esummulc1 29470
 Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (𝜑𝐴𝑉)
esummulc2.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2610 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))
5 esummulc2.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 29315 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
7 eqidd 2611 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
8 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
9 icossxr 12129 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
109, 5sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 xmul02 11970 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ·e 𝐶) = 0)
138, 12sylan9eqr 2666 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 0) → (𝑧 ·e 𝐶) = 0)
14 0e0iccpnf 12154 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 6197 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘0) = 0)
17 simp2 1055 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1056 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 12131 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sseldi 3566 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 29023 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
24 eqidd 2611 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
25 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → (𝑧 ·e 𝐶) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
27 ge0xaddcl 12157 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1072 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovex 6577 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V
3029a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V)
3124, 26, 28, 30fvmptd 6197 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
32 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
3332oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 𝐶))
34 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V)
3624, 33, 17, 35fvmptd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
37 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
3837oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
39 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V)
4124, 38, 18, 40fvmptd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
4236, 41oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
4323, 31, 423eqtr4d 2654 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)))
441, 2, 3, 6, 16, 43esumcocn 29469 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵))
45 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → 𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4645oveq1d 6564 . . 3 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
473ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48 nfcv 2751 . . . . 5 𝑘𝐴
4948esumcl 29419 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
502, 47, 49syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51 ovex 6577 . . . 4 *𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V
5251a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
537, 46, 50, 52fvmptd 6197 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
54 eqidd 2611 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
55 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
5655oveq1d 6564 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
57 ovex 6577 . . . . 5 (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V
5857a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
5954, 56, 3, 58fvmptd 6197 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 ·e 𝐶))
6059esumeq2dv 29427 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
6144, 53, 603eqtr3d 2652 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   +𝑒 cxad 11820   ·e cxmu 11821  [,)cico 12048  [,]cicc 12049   ↾t crest 15904  ordTopcordt 15982  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  esummulc2  29471  esumdivc  29472
 Copyright terms: Public domain W3C validator