Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumgect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumgect 29479
 Description: "Send 𝑛 to +∞ " in an inequality with an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsup.1 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumsup.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
esumgect.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumgect (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumgect
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumsup.1 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2 esumsup.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31, 2esumsup 29478 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))
4 nfv 1830 . . . . . 6 𝑛𝜑
5 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑛𝑧
6 nfmpt1 4675 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
76nfrn 5289 . . . . . . 7 𝑛ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
85, 7nfel 2763 . . . . . 6 𝑛 𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
94, 8nfan 1816 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
10 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) → 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
11 simplll 794 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) → 𝜑)
12 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
13 esumgect.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴𝐵)
1411, 12, 13syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴𝐵)
1510, 14eqbrtrd 4605 . . . . 5 ((((𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) → 𝑧𝐵)
16 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
17 esumex 29418 . . . . . . . 8 Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ V
1816, 17elrnmpti 5297 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
1918biimpi 205 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2019adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
219, 15, 20r19.29af 3058 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)) → 𝑧𝐵)
2221ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)𝑧𝐵)
23 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (1...𝑛) ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ V)
25 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
26 fz1ssnn 12243 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑛) ⊆ ℕ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
2827sselda 3568 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2925, 28, 2syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3029ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
3231esumcl 29419 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3324, 30, 32syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3433ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3516rnmptss 6299 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ⊆ (0[,]+∞))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ⊆ (0[,]+∞))
37 iccssxr 12127 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3836, 37syl6ss 3580 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ⊆ ℝ*)
3937, 1sseldi 3566 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
40 supxrleub 12028 . . . 4 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)𝑧𝐵))
4138, 39, 40syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)𝑧𝐵))
4222, 41mpbird 246 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
433, 42eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  (class class class)co 6549  supcsup 8229  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  carsggect  29707  carsgclctunlem2  29708
 Copyright terms: Public domain W3C validator