Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcocn 29469
Description: Lemma for esummulc2 29471 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcocn.j 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a (𝜑𝐴𝑉)
esumcocn.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0 (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
Assertion
Ref Expression
esumcocn (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn
StepHypRef Expression
1 nfv 1830 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2751 . . 3 𝑘𝐴
3 esumcocn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
4 esumcocn.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5 xrge0tps 29316 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6 xrge0base 29016 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 esumcocn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8 xrge0topn 29317 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
97, 8eqtr4i 2635 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
106, 9tpsuni 20553 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = 𝐽)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (0[,]+∞) = 𝐽
1211, 11cnf 20860 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15 esumcocn.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1614, 15ffvelrnd 6268 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0cmn 19607 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
195a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20 cmnmnd 18031 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
2117, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23 esumcocn.f . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
24233expib 1260 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦))))
2524ralrimivv 2953 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
26 esumcocn.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27 xrge0plusg 29018 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
28 xrge00 29017 . . . . . . . 8 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
296, 6, 27, 27, 28, 28ismhm 17160 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
3029biimpri 217 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
3122, 22, 13, 25, 26, 30syl23anc 1325 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
32 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
3332, 15fmpt3d 6293 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
341, 2, 3, 15esumel 29436 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
356, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34tsmsmhm 21759 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵))))
3613, 15cofmpt 28846 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵)))
3736oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵))))
3835, 37eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵))))
391, 2, 3, 16, 38esumid 29433 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵))
4039eqcomd 2616 1 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   cuni 4372  cmpt 4643  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  cle 9954   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  s cress 15696  t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ordTopcordt 15982  *𝑠cxrs 15983  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  CMndccmn 18016  TopSpctps 20519   Cn ccn 20838   tsums ctsu 21739  Σ*cesum 29416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-esum 29417
This theorem is referenced by:  esummulc1  29470
  Copyright terms: Public domain W3C validator