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Theorem epfrs 8490
 Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on 𝐴), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8491. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2 snssi 4280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
32anim2i 591 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
4 ssin 3797 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
5 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
65snss 4259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑦𝐴) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑦𝐴))
74, 6bitr4i 266 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
83, 7sylib 207 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐴))
9 ne0i 3880 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑦𝐴) → (𝑦𝐴) ≠ ∅)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → (𝑦𝐴) ≠ ∅)
11 inss2 3796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴
12 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
1312inex1 4727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴) ∈ V
1413epfrc 5024 . . . . . . . . . . . 12 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
1511, 14mp3an2 1404 . . . . . . . . . . 11 (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)
16 elin 3758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦𝑥𝐴))
1716anbi1i 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ ((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅))
18 anass 679 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑦𝑥𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
1917, 18bitri 263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)))
20 n0 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴))
21 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝐴) ⊆ 𝑥
2221sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → 𝑤𝑥)
2322ancri 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
24 trel 4687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → 𝑤𝑦))
25 inass 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴𝑥))
26 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
2726ineq2i 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∩ (𝐴𝑥)) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2825, 27eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝑥𝐴))
2928eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)))
30 elin 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ (𝑥𝐴)) ↔ (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)))
3129, 30bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥))
32 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3331, 32sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3433ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
3524, 34syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑥𝑦) → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3635expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3736com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Tr 𝑦 → (𝑤𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))))
3837impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Tr 𝑦 → ((𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝑥𝐴)) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
3923, 38syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4039exlimdv 1848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Tr 𝑦 → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑥𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4120, 40syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4241com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Tr 𝑦 → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅)))
4342imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ → ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) ≠ ∅))
4443necon4d 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → (((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴) = ∅))
4544anim2d 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Tr 𝑦𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4645expimpd 627 . . . . . . . . . . . . 13 (Tr 𝑦 → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4719, 46syl5bi 231 . . . . . . . . . . . 12 (Tr 𝑦 → ((𝑥 ∈ (𝑦𝐴) ∧ ((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝐴) = ∅)))
4847reximdv2 2997 . . . . . . . . . . 11 (Tr 𝑦 → (∃𝑥 ∈ (𝑦𝐴)((𝑦𝐴) ∩ 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
4915, 48syl5 33 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑦 → (( E Fr 𝐴 ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5049expcomd 453 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑦 → ((𝑦𝐴) ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
5110, 50syl5 33 . . . . . . . 8 (Tr 𝑦 → (({𝑧} ⊆ 𝑦𝑧𝐴) → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
5251expd 451 . . . . . . 7 (Tr 𝑦 → ({𝑧} ⊆ 𝑦 → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))))
5352impcom 445 . . . . . 6 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
54533adant3 1074 . . . . 5 (({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤)) → (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)))
55 snex 4835 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
5655tz9.1 8488 . . . . 5 𝑦({𝑧} ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑤(({𝑧} ⊆ 𝑤 ∧ Tr 𝑤) → 𝑦𝑤))
5754, 56exlimiiv 1846 . . . 4 (𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
5857exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑧 𝑧𝐴 → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
591, 58sylbi 206 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ( E Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅))
6059impcom 445 1 (( E Fr 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  Tr wtr 4680   E cep 4947   Fr wfr 4994 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393 This theorem is referenced by:  zfregs  8491
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