Theorem enen2 7986

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≈ 𝐴 ↔ 𝐶 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 7894	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐵)
2	1	ancoms 468	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≈ 𝐵)
3		ensym 7891	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		entr 7894	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≈ 𝐴)
5	4	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
6	3, 5	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	2, 6	impbida 873	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≈ 𝐴 ↔ 𝐶 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   class class class wbr 4583   ≈ cen 7838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-er 7629  df-en 7842

This theorem is referenced by:  karden  8641  ennum  8656  pwcdaen  8890  alephexp1  9280  gchdomtri  9330  gch-kn  9378  ctbnfien  36400