MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2 8081
Description: A set equinumerous to ordinal 2 is a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en2 (𝐴 ≈ 2𝑜 → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2
StepHypRef Expression
1 1onn 7606 . 2 1𝑜 ∈ ω
2 df-2o 7448 . 2 2𝑜 = suc 1𝑜
3 en1 7909 . . 3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
43biimpi 205 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5 df-pr 4128 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
65enp1ilem 8079 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
76eximdv 1833 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
81, 2, 4, 7enp1i 8080 1 (𝐴 ≈ 2𝑜 → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  cen 7838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845
This theorem is referenced by:  en3  8082  hash2pr  13108  pmtrrn2  17703
  Copyright terms: Public domain W3C validator