Theorem eluzsub 11593

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
eluzsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))
2	1	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
3	2	eleq2d 2673	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
4		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
5	4	eleq2d 2673	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
6	3, 5	imbi12d 333	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
7		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
8	7	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
9	8	eleq2d 2673	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
10		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 − 𝐾) = (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
11	10	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↔ (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
12	9, 11	imbi12d 333	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
13		0z 11265	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
14	13	elimel 4100	. . . 4 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
15	13	elimel 4100	. . . 4 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
16	14, 15	eluzsubi 11591	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
17	6, 12, 16	dedth2h 4090	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	3impia 1253	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  fzoss2  12365  expmulnbnd  12858  shftuz  13657  climshftlem  14153  isumshft  14410  efgredleme  17979  uniioombllem3  23159  ulmshftlem  23947  ulmshft  23948  caushft  32727  uzmptshftfval  37567  stoweidlem14  38907  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217