Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elreal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elreal 9831
 Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elreal (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 9825 . . 3 ℝ = (R × {0R})
21eleq2i 2680 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3 elxp2 5056 . . 3 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 0r 9780 . . . . . . 7 0RR
54elexi 3186 . . . . . 6 0R ∈ V
6 opeq2 4341 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
76eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
85, 7rexsn 4170 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9 eqcom 2617 . . . . 5 (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
108, 9bitri 263 . . . 4 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
1110rexbii 3023 . . 3 (∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
123, 11bitri 263 . 2 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
132, 12bitri 263 1 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {csn 4125  ⟨cop 4131   × cxp 5036  Rcnr 9566  0Rc0r 9567  ℝcr 9814 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-1p 9683  df-enr 9756  df-nr 9757  df-0r 9761  df-r 9825 This theorem is referenced by:  axaddrcl  9852  axmulrcl  9854  axrrecex  9863  axpre-lttri  9865  axpre-lttrn  9866  axpre-ltadd  9867  axpre-mulgt0  9868
 Copyright terms: Public domain W3C validator