Theorem elnp 9688

Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnp	⊢ (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elnp

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3185	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ V)
2		pssss 3664	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → 𝐴 ⊆ Q)
3		nqex 9624	. . . . 5 ⊢ Q ∈ V
4	3	ssex 4730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Q → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → 𝐴 ∈ V)
6	5	ad2antlr 759	. 2 ⊢ (((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
7		psseq2 3657	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∅ ⊊ 𝑧 ↔ ∅ ⊊ 𝐴))
8		psseq1 3656	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 ⊊ Q ↔ 𝐴 ⊊ Q))
9	7, 8	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ↔ (∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q)))
10		eleq2 2677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
11	10	imbi2d 329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
12	11	albidv 1836	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
13		rexeq 3116	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))
14	12, 13	anbi12d 743	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
15	14	raleqbi1dv 3123	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
16	9, 15	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦)) ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
17		df-np 9682	. . 3 ⊢ P = {𝑧 ∣ ((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦))}
18	16, 17	elab2g 3322	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 367	1 ⊢ (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  Qcnq 9553   <_Q cltq 9559  Pcnp 9560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-om 6958  df-ni 9573  df-nq 9613  df-np 9682

This theorem is referenced by:  genpcl  9709  nqpr  9715  ltexprlem5  9741  reclem2pr  9749  suplem1pr  9753