Theorem elmapfun 7767

Description: A mapping is always a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfun	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → Fun 𝐴)

Proof of Theorem elmapfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7765	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2		ffun 5961	. 2 ⊢ (𝐴:𝐶⟶𝐵 → Fun 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by:  fsfnn0gsumfsffz  18202  ltbwe  19293  frlmbas  19918  islindf4  19996  mbfmfun  29643  eulerpartgbij  29761  uncf  32558  pwfi2f1o  36684  hoicvr  39438  ovnovollem1  39546  ovnovollem2  39547  domnmsuppn0  41944  rmsuppss  41945  mndpsuppss  41946  scmsuppss  41947  lincext2  42038