Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1mpt2 14101
 Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ello1mpt2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1mpt2
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ello1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31, 2ello1mpt 14100 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
4 ello1d.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 rexico 13941 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
61, 4, 5syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
76rexbidv 3034 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
8 rexcom 3080 . . 3 (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
9 rexcom 3080 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
107, 8, 93bitr4g 302 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
113, 10bitr4d 270 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  ≤𝑂(1)clo1 14066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052  df-lo1 14070 This theorem is referenced by:  lo1bdd2  14103  elo1mpt2  14114
 Copyright terms: Public domain W3C validator