Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliunov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliunov2 36990
Description: Membership in the indexed union over operator values where the index varies the second input is equivalent to the existence of at least one index such that the the element is a member of that operator value. Generalized from dfrtrclrec2 13645. (Contributed by RP, 1-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunov2.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
Assertion
Ref Expression
eliunov2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁,   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑛,𝑟)   𝑉(𝑛,𝑟)   𝑋(𝑟)

Proof of Theorem eliunov2
StepHypRef Expression
1 elex 3185 . . . . 5 (𝑅𝑈𝑅 ∈ V)
21adantr 480 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑅 ∈ V)
3 simpr 476 . . . . 5 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
4 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑅 𝑛) ∈ V
54rgenw 2908 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V
6 iunexg 7035 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
73, 5, 6sylancl 693 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V)
8 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 𝑛) = (𝑅 𝑛))
98iuneq2d 4483 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
10 eqid 2610 . . . . 5 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
119, 10fvmptg 6189 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∈ V) → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
122, 7, 11syl2anc 691 . . 3 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛))
13 eleq2 2677 . . . 4 (((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ 𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛)))
14 eliun 4460 . . . . 5 (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))
1514a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1613, 15sylan9bb 732 . . 3 ((((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅 𝑛) ∧ (𝑅𝑈𝑁𝑉)) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
1712, 16mpancom 700 . 2 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
18 mptiunov2.def . . 3 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))
19 fveq1 6102 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝐶𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅))
2019eleq2d 2673 . . . . 5 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅)))
2120bibi1d 332 . . . 4 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → ((𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)) ↔ (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2221imbi2d 329 . . 3 (𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛)) → (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))))
2318, 22ax-mp 5 . 2 (((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))) ↔ ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟 𝑛))‘𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛))))
2417, 23mpbir 220 1 ((𝑅𝑈𝑁𝑉) → (𝑋 ∈ (𝐶𝑅) ↔ ∃𝑛𝑁 𝑋 ∈ (𝑅 𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173   ciun 4455  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552
This theorem is referenced by:  eltrclrec  36991  elrtrclrec  36992  briunov2  36993  eliunov2uz  37010  ov2ssiunov2  37011
  Copyright terms: Public domain W3C validator