Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccioo 28970
 Description: Membership in a closed interval of extended reals vs. the same open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
eliccioo ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Proof of Theorem eliccioo
StepHypRef Expression
1 prunioo 12172 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
21eleq2d 2673 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32biimpar 501 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
4 elun 3715 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
5 elprg 4144 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
65orbi2d 734 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵))))
74, 6syl5bb 271 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵))))
87adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵))))
93, 8mpbid 221 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
10 3orass 1034 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
11 3orcoma 1039 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
1210, 11bitr3i 265 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
139, 12sylib 207 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
14 lbicc2 12159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1514adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16 eleq1 2676 . . . . 5 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
1716adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
1815, 17mpbird 246 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19 ioossicc 12130 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2019sseli 3564 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2120adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
22 ubicc2 12160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2322adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24 eleq1 2676 . . . . 5 (𝐶 = 𝐵 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2524adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2623, 25mpbird 246 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2718, 21, 263jaodan 1386 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) ∧ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2813, 27impbida 873 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {cpr 4127   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053 This theorem is referenced by:  elxrge02  28971
 Copyright terms: Public domain W3C validator