Theorem eleenn 25576

Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleenn	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3879	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ¬ (𝔼‘𝑁) = ∅)
2		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)) ∈ V
3		df-ee 25571	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)))
4	2, 3	dmmpti 5936	. . . 4 ⊢ dom 𝔼 = ℕ
5	4	eleq2i 2680	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ dom 𝔼 ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
6		ndmfv 6128	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom 𝔼 → (𝔼‘𝑁) = ∅)
7	5, 6	sylnbir 320	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = ∅)
8	1, 7	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℝcr 9814  1c1 9816  ℕcn 10897  ...cfz 12197  𝔼cee 25568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-fv 5812  df-ov 6552  df-ee 25571

This theorem is referenced by:  eleei  25577  eedimeq  25578  brbtwn  25579  brcgr  25580  eleesub  25591  eleesubd  25592  axsegconlem1  25597  axsegconlem8  25604  axeuclidlem  25642  brsegle  31385