MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbl4 22178
Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elbl4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4
StepHypRef Expression
1 rpxr 11716 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 blcomps 22008 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
31, 2sylanl2 681 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4 simpll 786 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5 simprr 792 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
6 simplr 788 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7 blval2 22177 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
87eleq2d 2673 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
94, 5, 6, 8syl3anc 1318 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10 elimasng 5410 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11 df-br 4584 . . . . 5 (𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅)))
1210, 11syl6bbr 277 . . . 4 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1312ancoms 468 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1413adantl 481 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
153, 9, 143bitrd 293 1 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  {csn 4125  cop 4131   class class class wbr 4583  ccnv 5037  cima 5041  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  *cxr 9952  +crp 11708  [,)cico 12048  PsMetcpsmet 19551  ballcbl 19554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-psmet 19559  df-bl 19562
This theorem is referenced by:  metucn  22186
  Copyright terms: Public domain W3C validator