Theorem el1fzopredsuc 39948

Description: An element of an open integer interval starting at 1 joined by 0 and a successor at the beginning and the end is either 0 or an element of the open integer interval or the successor. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
el1fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Proof of Theorem el1fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12213	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2		1fzopredsuc 39947	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
3	2	eleq2d 2673	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
4		elun 3715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
5		elun 3715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
6	5	orbi1i 541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
7	4, 6	bitri 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
8		elsng 4139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {0} ↔ 𝐼 = 0))
10	9	orbi1d 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁))))
11		elsng 4139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝐼 = 𝑁))
13	10, 12	orbi12d 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
14	7, 13	syl5bb 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
15		df-3or 1032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) ↔ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁))
16	15	biimpri 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))
17	14, 16	syl6bi 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
18	17	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
19	18	com23 84	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
20	3, 19	sylbid 229	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁))))
21	1, 20	mpdi 44	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))
22		c0ex 9913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
23	22	snid 4155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ {0}
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → 0 ∈ {0})
25		eleq1 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
26	24, 25	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0})
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 0 → 𝐼 ∈ {0}))
28		idd 24	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (1..^𝑁) → 𝐼 ∈ (1..^𝑁)))
29		snidg 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ {𝑁})
30		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝑁 → (𝐼 ∈ {𝑁} ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
31	29, 30	syl5ibrcom 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 = 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝑁}))
32	27, 28, 31	3orim123d 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁})))
33	32	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
34		df-3or 1032	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}) ↔ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
35	33, 34	sylib 207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁)) ∨ 𝐼 ∈ {𝑁}))
36	35, 7	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
37	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (({0} ∪ (1..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
38	36, 37	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
39	38	ex 449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁) → 𝐼 ∈ (0...𝑁)))
40	21, 39	impbid 201	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑁) ∨ 𝐼 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {csn 4125  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  fmtnofz04prm  40027