Theorem efgi1 17957

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7454	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
2	1	elexi 3186	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
3	2	prid2 4242	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
4		df2o3 7460	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
5	3, 4	eleqtrri 2687	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ 2𝑜
6		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
7		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
8	6, 7	efgi 17955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
9	5, 8	mpanr2 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
10	9	3impa 1251	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
11		tru 1479	. . . 4 ⊢ ⊤
12		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, 1𝑜⟩ = ⟨𝐽, 1𝑜⟩)
13		difid 3902	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ∖ 1𝑜) = ∅
14	13	opeq2i 4344	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
16	12, 15	s2eqd 13459	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
17		oteq3 4351	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
18	11, 16, 17	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
19	18	oveq2i 6560	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
20	10, 19	syl6breq 4624	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133   class class class wbr 4583   I cid 4948   × cxp 5036  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441  0cc0 9815  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~_FG cefg 17942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444  df-efg 17945

This theorem is referenced by: (None)