Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  edgnbusgreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem edgnbusgreu 40595
 Description: For each edge incident to a vertex there is exactly one neighbor of the vertex also incident to this edge in a simple graph. (Contributed by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
edgnbusgreu.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
edgnbusgreu.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
edgnbusgreu.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)
Assertion
Ref Expression
edgnbusgreu (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑛,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem edgnbusgreu
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph )
21adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → 𝐺 ∈ USGraph )
3 edgnbusgreu.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43eleq2i 2680 . . . . . . 7 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
54biimpi 205 . . . . . 6 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
65ad2antrl 760 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
7 simprr 792 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → 𝑀𝐶)
8 usgredg2vtxeu 40448 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑀𝐶) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
92, 6, 7, 8syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
10 df-reu 2903 . . . . 5 (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
11 prcom 4211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑀, 𝑛} = {𝑛, 𝑀}
1211eqeq2i 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
1312biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
1413eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → (𝐶𝐸 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1514biimpcd 238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐸 → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1615ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1716adantld 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1817imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
19 simprr 792 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
2018, 19jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
21 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
22 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
233, 22usgrpredgav 40424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)))
2423simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
252, 21, 24syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
26 simprr 792 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
2725, 26jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
2820, 27impbida 873 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
2928eubidv 2478 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3029biimpd 218 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3110, 30syl5bi 231 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
329, 31mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
33 edgnbusgreu.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)
3433eleq2i 2680 . . . . . . 7 (𝑛𝑁𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
353nbusgreledg 40575 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀) ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
3634, 35syl5bb 271 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛𝑁 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
3736anbi1d 737 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3837ad2antrr 758 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ((𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3938eubidv 2478 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
4032, 39mpbird 246 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛(𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
41 df-reu 2903 . 2 (∃!𝑛𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
4240, 41sylibr 223 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃!weu 2458  ∃!wreu 2898  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379   NeighbVtx cnbgr 40550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-nbgr 40554 This theorem is referenced by:  nbusgrf1o0  40597
 Copyright terms: Public domain W3C validator