Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrdir 29121
 Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p + = (+g𝑅)
dvrdir.t / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrdir
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simpr1 1060 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑋𝐵)
3 simpr2 1061 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑌𝐵)
4 dvrdir.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 dvrdir.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
64, 5unitss 18483 . . . 4 𝑈𝐵
7 simpr3 1062 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
8 eqid 2610 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
95, 8unitinvcl 18497 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
107, 9syldan 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
116, 10sseldi 3566 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12 dvrdir.p . . . 4 + = (+g𝑅)
13 eqid 2610 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
144, 12, 13ringdir 18390 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
151, 2, 3, 11, 14syl13anc 1320 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
16 ringgrp 18375 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
184, 12grpcl 17253 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
1917, 2, 3, 18syl3anc 1318 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
20 dvrdir.t . . . 4 / = (/r𝑅)
214, 13, 5, 8, 20dvrval 18508 . . 3 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝑈) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
2219, 7, 21syl2anc 691 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
234, 13, 5, 8, 20dvrval 18508 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑍𝑈) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
242, 7, 23syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
254, 13, 5, 8, 20dvrval 18508 . . . 4 ((𝑌𝐵𝑍𝑈) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
263, 7, 25syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
2724, 26oveq12d 6567 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
2815, 22, 273eqtr4d 2654 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  invrcinvr 18494  /rcdvr 18505 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506 This theorem is referenced by:  qqhghm  29360  qqhrhm  29361
 Copyright terms: Public domain W3C validator