Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnmptconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnmptconst 38831
Description: The 𝑁-th derivative of a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptconst.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnmptconst.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnmptconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvnmptconst.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvnmptconst (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem dvnmptconst
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnmptconst.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
3 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1))
43eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑛 = 1 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
54imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
6 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚))
76eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
9 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)))
109eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1110imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
12 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁))
1312eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1413imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
15 dvnmptconst.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16 recnprss 23474 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
18 dvnmptconst.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
20 restsspw 15915 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
21 dvnmptconst.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
2220, 21sseldi 3566 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
23 elpwi 4117 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
25 cnex 9896 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2719, 24, 26, 15mptelpm 38352 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28 dvn1 23495 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
2917, 27, 28syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3015, 21, 18dvmptconst 38803 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3129, 30eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
32 simp3 1056 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
33 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ)
34 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
35 simpl 472 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
36 pm3.35 609 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3734, 35, 36syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
38373adant1 1072 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
39173ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
40273ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
41 nnnn0 11176 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
42413ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
43 dvnp1 23494 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
45 oveq2 6557 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
46453ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
47 0cnd 9912 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4815, 21, 47dvmptconst 38803 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
49483ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5044, 46, 493eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5132, 33, 38, 50syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
52513exp 1256 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
535, 8, 11, 14, 31, 52nnind 10915 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
541, 2, 53sylc 63 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  pm cpm 7745  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cn 10897  0cn0 11169  t crest 15904  TopOpenctopn 15905  fldccnfld 19567   D cdv 23433   D𝑛 cdvn 23434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438
This theorem is referenced by:  dvnprodlem3  38838
  Copyright terms: Public domain W3C validator