Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The 𝑁-th derivative of the 𝑀-th derivative of 𝐹 is the same as the 𝑀 + 𝑁-th derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnadd (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0))
2 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 0))
32fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
41, 3eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0))))
54imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))))
6 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
7 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑘))
87fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))
96, 8eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
109imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
11 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)))
12 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
1312fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
1411, 13eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
16 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁))
17 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑁))
1817fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))
1916, 18eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
2019imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))))
21 recnprss 23474 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
2221ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
23 ssid 3587 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ⊆ ℂ)
25 cnex 9896 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
26 elpm2g 7760 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2725, 26mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2827simplbda 652 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹𝑆)
2925a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ∈ V)
30 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
31 pmss12g 7770 . . . . . . . . 9 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ dom 𝐹𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
3224, 28, 29, 30, 31syl22anc 1319 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
3332adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
34 dvnff 23492 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
3534ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
3633, 35sseldd 3569 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37 dvn0 23493 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
3822, 36, 37syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
39 nn0cn 11179 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
4039adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
4140addid1d 10115 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
4241fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
4338, 42eqtr4d 2647 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
44 oveq2 6557 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
4522adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4636adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
47 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48 dvnp1 23494 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
4945, 46, 47, 48syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
5040adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
51 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
53 1cnd 9935 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
5450, 52, 53addassd 9941 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
5554fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
56 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
57 nn0addcl 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
5857adantll 746 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
59 dvnp1 23494 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
6045, 56, 58, 59syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
6155, 60eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
6249, 61eqeq12d 2625 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) ↔ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
6344, 62syl5ibr 235 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
6463expcom 450 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
6564a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
665, 10, 15, 20, 43, 65nn0ind 11348 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
6766com12 32 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
6867impr 647 1 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169   D cdv 23433   D𝑛 cdvn 23434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438 This theorem is referenced by:  dvn2bss  23499  dvtaylp  23928  dvntaylp  23929  dvntaylp0  23930
 Copyright terms: Public domain W3C validator