Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvaddcomN Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Commutativity of vector sum. (Contributed by NM, 26-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
dvhvaddcomN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 xp1st 7089 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
32ad2antrl 760 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
4 xp1st 7089 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐺) ∈ 𝑇)
54ad2antll 761 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐺) ∈ 𝑇)
6 dvhvaddcl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dvhvaddcl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
86, 7ltrncom 35044 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (1st𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (1st𝐺) ∈ 𝑇) → ((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)) = ((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)))
91, 3, 5, 8syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)) = ((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)))
10 xp2nd 7090 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐹) ∈ 𝐸)
11 xp2nd 7090 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐺) ∈ 𝐸)
1210, 11anim12i 588 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → ((2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸))
13 dvhvaddcl.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))
156, 7, 13, 14tendoplcom 35088 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
16153expb 1258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸)) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
1712, 16sylan2 490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
18 dvhvaddcl.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19 dvhvaddcl.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
20 dvhvaddcl.p . . . . . . 7 = (+g𝐷)
216, 7, 13, 18, 19, 14, 20dvhfplusr 35391 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))))
2221adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))))
2322oveqd 6566 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹) (2nd𝐺)) = ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)))
2422oveqd 6566 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐺) (2nd𝐹)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
2517, 23, 243eqtr4d 2654 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹) (2nd𝐺)) = ((2nd𝐺) (2nd𝐹)))
269, 25opeq12d 4348 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ⟨((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)), ((2nd𝐹) (2nd𝐺))⟩ = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
27 dvhvaddcl.a . . 3 + = (+g𝑈)
286, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 35399 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = ⟨((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)), ((2nd𝐹) (2nd𝐺))⟩)
296, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 35399 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
3029ancom2s 840 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
3126, 28, 303eqtr4d 2654 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058  DVecHcdvh 35385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dvech 35386 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator