Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosax 38816
 Description: Derivative exercise: the derivative with respect to x of cos(Ax), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvcosax (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcosax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9899 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))
3 cosf 14694 . . . . . . . 8 cos:ℂ⟶ℂ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → cos:ℂ⟶ℂ)
54feqmptd 6159 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
6 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝐴 · 𝑥)))
71, 2, 5, 6fmptco 6303 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))))
87eqcomd 2616 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥))) = (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))
98oveq2d 6565 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
10 cnelprrecn 9908 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
131, 12fmptd 6292 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
14 dvcos 23550 . . . . . . 7 (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
1514dmeqi 5247 . . . . . 6 dom (ℂ D cos) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
16 dmmptg 5549 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘𝑥) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ)
17 sincl 14695 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1817negcld 10258 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1916, 18mprg 2910 . . . . . 6 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = ℂ
2015, 19eqtri 2632 . . . . 5 dom (ℂ D cos) = ℂ
2120a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D cos) = ℂ)
22 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
23 0red 9920 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2511, 24dvmptc 23527 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
26 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
27 1red 9934 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
2811dvmptid 23526 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
2911, 22, 23, 25, 26, 27, 28dvmptmul 23530 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
3029dmeqd 5248 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
31 dmmptg 5549 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℂ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ)
32 ovex 6577 . . . . . . 7 ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) ∈ V)
3431, 33mprg 2910 . . . . 5 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))) = ℂ
3530, 34syl6eq 2660 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
3611, 11, 4, 13, 21, 35dvcof 23517 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (cos ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
37 dvcos 23550 . . . . . . 7 (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦))
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D cos) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑦)))
39 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
4039negeqd 10154 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
411, 2, 38, 40fmptco 6303 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
4241oveq1d 6564 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
43 cnex 9896 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
4443mptex 6390 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V
45 ovex 6577 . . . . . 6 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V
46 offval3 7053 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
4744, 45, 46mp2an 704 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)))
4847a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))))
491sincld 14699 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5049negcld 10258 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5150ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
52 dmmptg 5549 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℂ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = ℂ)
5453, 35ineq12d 3777 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (ℂ ∩ ℂ))
55 inidm 3784 . . . . . 6 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
5654, 55syl6eq 2660 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
57 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))))
5856adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = ℂ)
5957, 58eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → 𝑦 ∈ ℂ)
60 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
61 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
6261fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑥)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6362negeqd 10154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6463adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 𝑦) → -(sin‘(𝐴 · 𝑥)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
65 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
66 negex 10158 . . . . . . . . . . 11 -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
6860, 64, 65, 67fvmptd 6197 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
6968adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))
7029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴))))
71 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (0 · 𝑥) = (0 · 𝑦))
7271oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)))
73 mul02 10093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (0 · 𝑦) = 0)
74 mulid2 9917 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
7573, 74oveqan12rd 6569 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
76 addid2 10098 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7875, 77eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
7972, 78sylan9eqr 2666 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
80 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
81 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8270, 79, 80, 81fvmptd 6197 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) = 𝐴)
8369, 82oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴))
84 mulcl 9899 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
8584sincld 14699 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8685negcld 10258 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8786, 81mulcomd 9940 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-(sin‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8883, 87eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
8959, 88syldan 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦)) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))))
9056, 89mpteq12dva 4662 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥))) ∩ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) ↦ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))‘𝑦) · ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
9142, 48, 903eqtrd 2648 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D cos) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))) ∘𝑓 · (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
929, 36, 913eqtrd 2648 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))))
93 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑥))
9493fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (sin‘(𝐴 · 𝑦)) = (sin‘(𝐴 · 𝑥)))
9594negeqd 10154 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -(sin‘(𝐴 · 𝑦)) = -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))
9695oveq2d 6565 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
9796cbvmptv 4678 . 2 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥))))
9892, 97syl6eq 2660 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝐴 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · -(sin‘(𝐴 · 𝑥)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146  sincsin 14633  cosccos 14634   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  itgsincmulx  38866
 Copyright terms: Public domain W3C validator