Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstrvprob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstrvprob 29860
 Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 29859) (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
Assertion
Ref Expression
dstrvprob (𝜑𝐷 ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
2 dstrvprob.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑃 ∈ Prob)
4 dstrvprob.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
73, 5, 6orvcelel 29858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8 prob01 29802 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
93, 7, 8syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10 elunitrn 29271 . . . . . . . . 9 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
1110rexrd 9968 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12 elunitge0 29273 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
13 elxrge0 12152 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
1411, 12, 13sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
159, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
161, 15fmpt3d 6293 . . . . 5 (𝜑𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞))
17 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
1817oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ∅))
1918fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
20 brsigarn 29574 . . . . . . . . 9 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21 elrnsiga 29516 . . . . . . . . 9 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
22 0elsiga 29504 . . . . . . . . 9 (𝔅 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅)
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝔅
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅)
252, 4, 24orvcelel 29858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
262, 25probvalrnd 29813 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
271, 19, 24, 26fvmptd 6197 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
282, 4, 24orvcelval 29857 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) = (𝑋 “ ∅))
2928fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(𝑋 “ ∅)))
30 ima0 5400 . . . . . . . 8 (𝑋 “ ∅) = ∅
3130fveq2i 6106 . . . . . . 7 (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32 probnul 29803 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
332, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
3431, 33syl5eq 2656 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = 0)
3527, 29, 343eqtrd 2648 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
362, 4rrvvf 29833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
3736ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
38 ffun 5961 . . . . . . . . . . 11 (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ → Fun 𝑋)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
40 unipreima 28826 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑋 → (𝑋 𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
4140fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑋 → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
432ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
44 domprobmeas 29799 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
46 nfv 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
47 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 𝑥 ≼ ω
48 nfdisj1 4566 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎Disj 𝑎𝑥 𝑎
4947, 48nfan 1816 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)
5046, 49nfan 1816 . . . . . . . . . . 11 𝑎((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎))
51 simplll 794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝜑)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎𝑥)
53 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
54 elelpwi 4119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
5552, 53, 54syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅)
562, 4rrvfinvima 29839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5756r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5851, 55, 57syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5958ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃))
6050, 59ralrimi 2940 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
61 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
62 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 𝑎)
63 disjpreima 28779 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝑋Disj 𝑎𝑥 𝑎) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
6439, 62, 63syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
65 measvuni 29604 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6645, 60, 61, 64, 65syl112anc 1322 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6742, 66eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
684ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
691ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
7020, 21mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝔅 ran sigAlgebra)
71 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
72 sigaclcu 29507 . . . . . . . . . 10 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7370, 71, 61, 72syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7443, 68, 69, 73dstrvval 29859 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = (𝑃‘(𝑋 𝑥)))
751, 9fvmpt2d 6202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7651, 55, 75syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7743adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
7868adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7977, 78, 55orvcelval 29857 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋𝑎))
8079fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8176, 80eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8281ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎))))
8350, 82ralrimi 2940 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8450, 83esumeq2d 29426 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
8567, 74, 843eqtr4d 2654 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))
8685ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
8786ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
88 ismeas 29589 . . . . . 6 (𝔅 ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))))
8920, 21, 88mp2b 10 . . . . 5 (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))))
9016, 35, 87, 89syl3anbrc 1239 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘𝔅))
911dmeqd 5248 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
9215ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
93 dmmptg 5549 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9591, 94eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅)
9695fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅))
9790, 96eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
98 measbasedom 29592 . . 3 (𝐷 ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
9997, 98sylibr 223 . 2 (𝜑𝐷 ran measures)
10095unieqd 4382 . . . . 5 (𝜑 dom 𝐷 = 𝔅)
101 unibrsiga 29576 . . . . 5 𝔅 = ℝ
102100, 101syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑 dom 𝐷 = ℝ)
103102fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
104 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
105104oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ℝ))
106 baselsiga 29505 . . . . . . . . . 10 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅)
10720, 106mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅)
1082, 4, 107orvcelval 29857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
109108adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
110105, 109eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋 “ ℝ))
111110fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)))
112 fimacnv 6255 . . . . . . . . 9 (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
11336, 112syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
114113fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = (𝑃 dom 𝑃))
115 probtot 29801 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
1162, 115syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
117114, 116eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
118117adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
119111, 118eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
120 1red 9934 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1211, 119, 107, 120fvmptd 6197 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
122103, 121eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = 1)
123 elprob 29798 . 2 (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ran measures ∧ (𝐷 dom 𝐷) = 1))
12499, 122, 123sylanbrc 695 1 (𝜑𝐷 ∈ Prob)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   E cep 4947  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  Σ*cesum 29416  sigAlgebracsiga 29497  𝔅ℝcbrsiga 29571  measurescmeas 29585  Probcprb 29796  rRndVarcrrv 29829  ∘RV/𝑐corvc 29844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417  df-siga 29498  df-sigagen 29529  df-brsiga 29572  df-meas 29586  df-mbfm 29640  df-prob 29797  df-rrv 29830  df-orvc 29845 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator