Theorem dsmmfi 19901

Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dsmmfi	⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
2	1	dsmmval2 19899	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
3		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5		noel 3878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 𝑓 ∈ ∅
6		reldmprds 15932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Rel dom Xs
7	6	ovprc1 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
8	7	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9		base0 15740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	8, 9	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
11	10	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
12	5, 11	mtbiri 316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13	12	con4i 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16		simpll 786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
18	3, 4, 14, 15, 16, 17	prdsbasfn 15954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19		fndm 5904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐼 → dom 𝑓 = 𝐼)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
21	20, 15	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
22		difss 3699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓
23		dmss 5245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓
25		ssfi 8065	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
26	21, 24, 25	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
27	26	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
28		rabid2 3096	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
29	27, 28	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin})
30		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin}
31	3, 30	dsmmbas2 19900	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
32	29, 31	eqtr2d 2645	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
33	32	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
34		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs𝑅) ∈ V
35	4	ressid 15762	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
37	33, 36	syl6eq 2660	. 2 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
38	2, 37	syl5eq 2656	1 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  0_gc0g 15923  X_scprds 15929   ⊕_m cdsmm 19894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-dsmm 19895

This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  19915