Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngpropd 18597
 Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drngpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
drngpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
drngpropd (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd
StepHypRef Expression
1 drngpropd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 drngpropd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 drngpropd.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
41, 2, 3unitpropd 18520 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
61, 2eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
81adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
92adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10 drngpropd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
1110adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
128, 9, 11grpidpropd 17084 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (0g𝐾) = (0g𝐿))
1312sneqd 4137 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → {(0g𝐾)} = {(0g𝐿)})
147, 13difeq12d 3691 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))
155, 14eqeq12d 2625 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
1615pm5.32da 671 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
171, 2, 10, 3ringpropd 18405 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1817anbi1d 737 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
1916, 18bitrd 267 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
20 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 eqid 2610 . . 3 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22 eqid 2610 . . 3 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2320, 21, 22isdrng 18574 . 2 (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})))
24 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25 eqid 2610 . . 3 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26 eqid 2610 . . 3 (0g𝐿) = (0g𝐿)
2724, 25, 26isdrng 18574 . 2 (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
2819, 23, 273bitr4g 302 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  DivRingcdr 18570 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-drng 18572 This theorem is referenced by:  fldpropd  18598  lvecprop2d  18987  hlhildrng  36262
 Copyright terms: Public domain W3C validator