MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdval0prc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdval0prc 18224
Description: The internal direct product of a family of subgroups indexed by a proper class is empty. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
dprdval0prc (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem dprdval0prc
StepHypRef Expression
1 df-nel 2783 . . 3 (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2 dmexg 6989 . . . 4 (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
32con3i 149 . . 3 (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
41, 3sylbi 206 . 2 (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5 reldmdprd 18219 . . 3 Rel dom DProd
65ovprc2 6583 . 2 𝑆 ∈ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)
74, 6syl 17 1 (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wnel 2781  Vcvv 3173  c0 3874  dom cdm 5038  (class class class)co 6549   DProd cdprd 18215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-dprd 18217
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator