Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf11 18245
 Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdf11.4 (𝜑𝐻𝑊)
Assertion
Ref Expression
dprdf11 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2 eldprdi.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 eldprdi.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 eldprdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑊)
5 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5dprdff 18234 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7 ffn 5958 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝐹 Fn 𝐼)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
9 dprdf11.4 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑊)
101, 2, 3, 9, 5dprdff 18234 . . . 4 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
11 ffn 5958 . . . 4 (𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝐻 Fn 𝐼)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
13 eqfnfv 6219 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
148, 12, 13syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
15 eldprdi.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 eqid 2610 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
1715, 1, 2, 3, 4, 9, 16dprdfsub 18243 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
1817simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
1915, 1, 2, 3, 18dprdfeq0 18244 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 )))
2017simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
2120eqeq1d 2612 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
222, 3dprddomcld 18223 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
23 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐹𝑥) ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
25 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐻𝑥) ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ V)
276feqmptd 6159 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
2810feqmptd 6159 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐻𝑥)))
2922, 24, 26, 27, 28offval2 6812 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))))
3029eqeq1d 2612 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 ) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 )))
31 ovex 6577 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V
3231rgenw 2908 . . . . . 6 𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V
33 mpteqb 6207 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ))
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 )
35 dprdgrp 18227 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
362, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
386ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
3910ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
405, 15, 16grpsubeq0 17324 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4241ralbidva 2968 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4334, 42syl5bb 271 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4430, 43bitrd 267 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4519, 21, 443bitr3d 297 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
465dprdssv 18238 . . . 4 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
4715, 1, 2, 3, 4eldprdi 18240 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4846, 47sseldi 3566 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
4915, 1, 2, 3, 9eldprdi 18240 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
5046, 49sseldi 3566 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
515, 15, 16grpsubeq0 17324 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
5236, 48, 50, 51syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
5314, 45, 523bitr2rd 296 1 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Xcixp 7794   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247   DProd cdprd 18215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-cmn 18018  df-dprd 18217 This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  18259  dpjeq  18281
 Copyright terms: Public domain W3C validator