MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen 7854
Description: Dominance in terms of equinumerosity. Example 1 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
bren.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
domen (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem domen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren.1 . . 3 𝐵 ∈ V
21brdom 7853 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 vex 3176 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
43f11o 7021 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
54exbii 1764 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑓𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
6 excom 2029 . . . 4 (∃𝑓𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
75, 6bitri 263 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
8 bren 7850 . . . . . 6 (𝐴𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥)
98anbi1i 727 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
10 19.41v 1901 . . . . 5 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
119, 10bitr4i 266 . . . 4 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
1211exbii 1764 . . 3 (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
137, 12bitr4i 266 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
142, 13bitri 263 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 195  wa 383  wex 1695  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803  cen 7838  cdom 7839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-en 7842  df-dom 7843
This theorem is referenced by:  domeng  7855  infcntss  8119  cdainf  8897  ramub2  15556  ram0  15564
  Copyright terms: Public domain W3C validator