MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dom0 7973
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dom0 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0
StepHypRef Expression
1 reldom 7847 . . . . 5 Rel ≼
21brrelexi 5082 . . . 4 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3 0domg 7972 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
54pm4.71i 662 . 2 (𝐴 ≼ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴))
6 sbthb 7966 . 2 ((𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅)
7 en0 7905 . 2 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
85, 6, 73bitri 285 1 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  c0 3874   class class class wbr 4583  cen 7838  cdom 7839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843
This theorem is referenced by:  pwcdadom  8921  fin1a2lem11  9115  cfpwsdom  9285
  Copyright terms: Public domain W3C validator