Theorem dmdmd 28543

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
3	2	ineq1d 3775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
5	3, 4	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
6	1, 5	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7	6	rspccv 3279	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8		choccl 27549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑥) ∈ Cℋ )
9	8	imim1i 61	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
10	9	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12		chsscon3 27743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
13	12	biimpd 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
14	13	adantll 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16		choccl 27549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
17		chjcl 27600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
18	8, 16, 17	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
19		chdmm3 27770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
20	18, 19	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
21		chdmj4 27775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
23	22	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
24	20, 23	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
25	24	anasss 677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
26		choccl 27549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
27		chincl 27742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
28	16, 26, 27	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
29		chdmj2 27773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
30	28, 29	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31		chdmm4 27771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	ineq2d 3776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	30, 33	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	25, 34	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
36	35	ancoms 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	15, 36	syl5ib 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	14, 37	imim12d 79	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
39	11, 38	syld 46	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
40	39	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
41	40	com23 84	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
42	7, 41	syl5 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
43	42	ralrimdv 2951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
44		sseq2 3590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45		ineq1 3769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
46	45	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
47		ineq1 3769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
48	46, 47	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
49	44, 48	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
50	49	rspccv 3279	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
51		choccl 27549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑦) ∈ Cℋ )
52	51	imim1i 61	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
53	52	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
55		chsscon2 27745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
56	55	biimprd 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
57	56	adantll 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
59		chincl 27742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
60	51, 59	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
61		chdmj1 27772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
62	60, 61	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63		chdmm2 27769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
65	64	ineq1d 3775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
66	62, 65	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
67	66	anasss 677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68		chjcl 27600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
69		chdmm2 27769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
70	68, 69	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
71		chdmj1 27772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
73	72	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
74	70, 73	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
75	67, 74	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
76	75	ancoms 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
77	58, 76	syl5ib 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
78	57, 77	imim12d 79	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
79	54, 78	syld 46	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
80	79	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
81	80	com23 84	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
82	50, 81	syl5 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
83	82	ralrimdv 2951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
84	43, 83	impbid 201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
85		mdbr 28537	. . 3 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
86	16, 26, 85	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87		dmdbr 28542	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
88	84, 86, 87	3bitr4rd 300	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   C_ℋ cch 27170  ⊥cort 27171   ∨_ℋ chj 27174   𝑀_ℋ cmd 27207   𝑀_ℋ^* cdmd 27208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-chj 27553  df-md 28523  df-dmd 28524

This theorem is referenced by:  mddmd  28544  ssdmd1  28556  mdsldmd1i  28574  cvdmd  28580  dmdsym  28656  cmdmdi  28660