ditgsplit - Metamath Proof Explorer

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Theorem ditgsplit 23431

Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 23409, there is no constraint on the ordering of the points 𝐴, 𝐵, 𝐶 in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)

**Assertion**
Ref	Expression
ditgsplit	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 𝑥,𝑌 Allowed substitution hint: 𝐷(𝑥)

**Proof of Theorem ditgsplit**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 12109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		ditgsplit.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9		elicc2 12109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
10	2, 3, 9	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
11	8, 10	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
12	11	simp1d 1066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ditgsplit.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
15		elicc2 12109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
16	2, 3, 15	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
17	14, 16	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
18	17	simp1d 1066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	12	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	18	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		ditgsplit.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23		ditgsplit.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿¹)
24		biid 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
25	2, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24	ditgsplitlem 23430	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
26	25	adantlr 747	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
27		biid 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
28	2, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27	ditgsplitlem 23430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
29	28	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
30	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgcl 23428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
31	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgcl 23428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
32	2, 3, 8, 14, 22, 23	ditgcl 23428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	addassd 9941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
34	2, 3, 14, 8, 22, 23	ditgswap 23429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
35	34	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
36	31	negidd 10261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
37	35, 36	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
38	37	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
39	30	addid1d 10115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
40	33, 38, 39	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
41	40	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
42	29, 41	eqtr2d 2645	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
43	42	adantllr 751	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
44	20, 21, 26, 43	lecasei 10022	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
45	40	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
46		ancom 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47	2, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46	ditgsplitlem 23430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
48	47	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
49	2, 3, 1, 14, 22, 23	ditgswap 23429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
50	49	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
51	30	negidd 10261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
52	50, 51	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
53	52	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
54	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgcl 23428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
55	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgcl 23428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
56	30, 54, 55	addassd 9941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
57	55	addid2d 10116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
58	53, 56, 57	3eqtr3d 2652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
59	58	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
60	48, 59	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
61	60	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
62	45, 61	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
63	13, 19, 44, 62	lecasei 10022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
64	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
65	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
66		biid 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
67	2, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66	ditgsplitlem 23430	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
68	67	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
69	2, 3, 1, 8, 22, 23	ditgswap 23429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
70	69	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
71	55	negidd 10261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
72	70, 71	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
73	72	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
74	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgcl 23428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 ∈ ℂ)
75	55, 74, 30	addassd 9941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
76	30	addid2d 10116	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
77	73, 75, 76	3eqtr3d 2652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
78	77	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
79	68, 78	eqtr2d 2645	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
80	12	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	18	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
82		ancom 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
83	2, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82	ditgsplitlem 23430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
84	83	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
85	32, 54, 30	addassd 9941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
86	2, 3, 14, 1, 22, 23	ditgswap 23429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
87	86	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
88	54	negidd 10261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
89	87, 88	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = 0)
90	89	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0))
91	32	addid1d 10115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
92	85, 90, 91	3eqtrd 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
93	92	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
94	84, 93	eqtr2d 2645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
95	94	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)))
96	77	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
97	95, 96	eqtr2d 2645	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
98	97	adantllr 751	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
99		ancom 465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
100	2, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99	ditgsplitlem 23430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
101	100	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
102	31, 74, 55	addassd 9941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
103	2, 3, 8, 1, 22, 23	ditgswap 23429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥)
104	103	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥))
105	74	negidd 10261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + -⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) = 0)
106	104, 105	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = 0)
107	106	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0))
108	31	addid1d 10115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + 0) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
109	102, 107, 108	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
110	109	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
111	101, 110	eqtr2d 2645	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
112	111	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)))
113	58	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + (⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)) = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥)
114	112, 113	eqtr2d 2645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥))
115	114	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
116	40	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥) + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥)
117	115, 116	eqtr2d 2645	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
118	117	adantlr 747	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
119	80, 81, 98, 118	lecasei 10022	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
120	64, 65, 79, 119	lecasei 10022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
121	7, 12, 63, 120	lecasei 10022	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 0cc0 9815 + caddc 9818 ≤ cle 9954 -cneg 10146 (,)cioo 12046 [,]cicc 12049 𝐿¹cibl 23192 ⨜cdit 23416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-disj 4554 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-of 6795 df-ofr 6796 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-fi 8200 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xneg 11822 df-xadd 11823 df-xmul 11824 df-ioo 12050 df-ico 12052 df-icc 12053 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-rlim 14068 df-sum 14265 df-rest 15906 df-topgen 15927 df-psmet 19559 df-xmet 19560 df-met 19561 df-bl 19562 df-mopn 19563 df-top 20521 df-bases 20522 df-topon 20523 df-cmp 21000 df-ovol 23040 df-vol 23041 df-mbf 23194 df-itg1 23195 df-itg2 23196 df-ibl 23197 df-itg 23198 df-0p 23243 df-ditg 23417

This theorem is referenced by: itgsubstlem 23615

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