Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihordlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihordlem6 35520
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 122 line 35. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihordlem8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihordlem8.l = (le‘𝐾)
dihordlem8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihordlem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihordlem8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihordlem8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.s + = (+g𝑈)
dihordlem8.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dihordlem6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑃,   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑔,,𝑠)   𝑅(𝑔,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   𝑈(𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑔,,𝑠)   𝐺(𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dihordlem6
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1081 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
3 simp2l 1080 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp3 1056 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠𝐸𝑔𝑇))
5 dihordlem8.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 dihordlem8.l . . 3 = (le‘𝐾)
7 dihordlem8.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dihordlem8.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dihordlem8.p . . 3 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
10 dihordlem8.o . . 3 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
11 dihordlem8.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 dihordlem8.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
13 dihordlem8.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14 dihordlem8.s . . 3 + = (+g𝑈)
15 dihordlem8.g . . 3 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemn6 35509 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
171, 2, 3, 4, 16syl121anc 1323 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cop 4131   class class class wbr 4583  cmpt 4643   I cid 4948  cres 5040  ccom 5042  cfv 5804  crio 6510  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  lecple 15775  occoc 15776  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058  DVecHcdvh 35385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dvech 35386
This theorem is referenced by:  dihordlem7  35521
  Copyright terms: Public domain W3C validator